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美高梅mgm02233.com:饼日用杂货色谈,π里包涵了富有望的数字构成呢

2019年5月2日 - 美高梅mgm02233.com
美高梅mgm02233.com:饼日用杂货色谈,π里包涵了富有望的数字构成呢

在《疑犯追踪》S02E11里,“宅总”哈罗德·芬奇说了这样一段话:

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2018年3月14日,霍金逝世,享年76岁。今天是霍金逝世一周年,作为当代最伟大的科学家之一,霍金绝对值得纪念。

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山顶,寺院,酒旗飘扬。【1】

21岁就被医生判定活不过两年,他硬是从死神手里多抢来了50几年,投身于宇宙学和黑洞的研究,并用通俗的语言将这些艰深的知识推向大众,唤起无数人的好奇心与想象力。

“π,圆周长与其直径之比,这是开始。后面一直有,无穷无尽。永不重复。就是说在这串数字中,包含每种可能的组合。你的生日,储物柜密码,你的社保号码,都在其中某处。如果把这些数字转换为字母,就能得到所有的单词,无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节,你心上人的名字,你一辈子从始至终的故事,我们做过或说过的每件事,宇宙中所有无限的可能,都在这个简单的圆中。用这些信息做什么,它有什么用,取决于你们。”

母亲中学学的俄语,后来读大学以及工作中却并没有用到,几十年下来能记住的俄语单词恐怕剩不下几个了。在我的记忆中,母亲常常拿两个单词开玩笑,一个是“星期天”,一个是“自行车”,前者读作“袜子搁在鞋里”(воскресенье),后者发音类似“原来是瘪”(велосипед),“自行车是瘪的如何骑?”每每听到这个我们兄妹俩都哈哈大笑。

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很多观众看到这一段之后十分感动,还有人感慨:为什么我们的数学老师没有这么教我们呢?

音译式背诵外文单词法并不是五六十年代的产物,早在晚清国门刚刚向西方敞开时就有人总结出来了这样的学习经验。在下面这本咸丰年间的“英语300句”教材中,每个例句都有中文原意、英语翻译以及中文读音标记三行,以“我与朋友去做”为例,英文为To
do with my friend,音译为“土、度、回夫、买以、勿伦脱”。

关于霍金,还有一个神奇的巧合。霍金出生的那天,是伽利略去世的日子,他走的这天,则是爱因斯坦的生日。人类史上三位伟大的科学家就此关联在一起。虽然只是纯粹的巧合,但还是颇为耐人寻味。

之所以我们的老师不讲,是因为这段话在数学上是不对的。

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无理

宅总的前两句话正确地描述了π的一个属性:无穷无尽且永不重复——换句话说,π是个“无限不循环小数”,也就是“无理数”。

但是,一个无理数并不一定能包含“每种可能的数字组合”。

举个简单的反例:0.909009000900009000009……

(除非特别声明,所有数字都是10进制的,下同。)

这个数的特点是,两个“9”之间的距离会越来越长,每次多一个0,直到无限。它是无穷无尽的,也是不循环的,因此是无理的;但别说“每种可能的数字组合”了,它连0到9这十个数字都凑不齐呢!

见字就会读的英语教材。【2】

所以,今天不仅是霍金逝世一周年,也是爱因斯坦诞辰140周年。

合取

包含所有数字组合的数,叫做“合取数”。无理数并不都是合取数。

一个典型的合取数是这样的:0.10200300040000500000600……000110000000000012000……

在越来越长的0串中间,夹杂着从1开始的所有自然数,直到无限。既然包含了所有自然数,当然也就包含了所有的数字组合。

中国人学外语用中文标注发音,外国人学中文的套路其实也差不多。下面这本书据说来自于现代化的美国,图文并茂,印刷精良,从外观上看确实是青少年学习中文的优秀教材之一。虽然说用yacht来标注“牙齿”多少还有些偏差,但way和“胃”的发音确实是一样一样、非常准确的啊!从这个准确度上来说,这本美国教材完胜前面那本咸丰教材,更是完胜母亲当年的“袜子搁在鞋里”。读完这本书,我觉得美国人民一定能够理解Who’s
Hu?这样的笑话,这对中美关系的稳定发展具有相当重要的意义。

有意思的是,3月14日还是圆周率日。圆周率π,即圆的周长和直径的比值,是一个神奇的数学常数,在科学中占据重要位置。

正规

但是写这么多0,多费纸费电啊。如果把这些零去掉呢?

得到的数就是这样:0.123456789101112131415……

这个数不但是合取的,还是“正规”的——从0到9的每一个数字,出现的频率都趋向于一样的值。

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随机

如果我们再进一步,连生成规律都不要了,而是用某种真随机生成器(比如哥本哈根解释下的量子随机性)造出一个每位都随机的数,那么它当然就是“随机”的了——不光每一个数字的长期频率趋于一致,任何位置出现的概率也都一样。

美国的中文教材。【3】

π是一个无理数,对其精确值的计算几乎贯穿整个人类文明史。公元5世纪,我国的数学家祖冲之用几何方法巧妙地将π计算到小数点后7位,即将其确定在3.1415926和3.1415927之间。

那pi是什么?

非常遗憾的是,目前为止我们只证明了pi是个无理数。pi是合取(包含所有可能)的吗?是正规(所有数字出现频率趋于一致)的吗?是随机(每一位上的数字都随机)的吗?

答案是:全都不知道。

我们很容易构造出一个合取数或者正规数,甚至能证明“几乎所有”实数都是合取而且正规的,但是随便拿一个具体的数字,要想判断它是否合取、是否正规,却极其困难。我们甚至都不知道pi里面是不是有无限个数字2。至于随机?别跟我提什么随机。

合取数和正规数有另一个有趣的性质:和进制有关。有个常数叫斯通汉姆数(Stoneham
number),在二进制、四进制、八进制……下已经证明全都是正规的了,可是在六进制下却能证明它不是正规的。如果一个数在任何进制下都正规,可以称之为“绝对正规”。不幸的是,pi在任何进制下都没能证明正规——离得最近的是2,有论文证明,假如某个猜想是对的,那么pi就是二进制正规;但那个猜想本身也只是“很可能正确”,还没有得到严格证明。

当然,我们都已经计算出pi的几百亿位了,可以看看它们的分布来猜规律;也可以通过一些其他数学方法拐弯抹角地试图推断。从已知事实来看,pi和正规性吻合得非常之好,换做任何别的人文、社科、自然科学,都可以当做定论来用了,因此几乎所有人都“觉得”它该是正规的。可惜,这是数学,数学是靠证明说话的,只要拿不出证明,数学家就不能安心睡好觉。

美高梅mgm02233.com 8平面上的一个随机行走路线,每一步随机选择上下左右四个方向之一。本组行走路线图片来自David
H. Bailey and Jonathan Borwein,下同。

美高梅mgm02233.com 9用四进制pi前1000亿位生成的行走路线,0123分别对应上下左右。看起来和随机的很像。但只是看起来。

美高梅mgm02233.com 10用四进制詹帕诺尼常数(Champernowne’s
number)生成的行走路线。这个常数是正规的,但显然一点儿都不随机。

美高梅mgm02233.com 11四进制斯通汉姆数生成的行走路线。它是正规的,看起来也很随机。

美高梅mgm02233.com 12三进制斯通汉姆数生成的行走路线。我们不知道它是否正规,但至少看起来和随机很像。

美高梅mgm02233.com 13六进制斯通汉姆数生成的行走路线。它不正规,所以……也完全不随机。就是这么一条儿。

除了在文科领域,读音标记法在理科发展上也有着非常重要的地位。在今天这个特殊的日子,我们不得不谈谈圆周率π。

随着计算机技术的快速发展,人类计算π的精度也得到破天荒式的提高——π的十进制精度已高达小数点后万亿位。目前,人类计算π的值主要是为了破纪录。

为什么要在乎这些细节呢?

这篇文章不是为了批评《疑犯追踪》这部剧,事实上看到这一幕的时候我还非常高兴:影视剧里到处都是坏掉的理化生,而坏掉的人文社科干脆就是某些作品的主干——但现在终于出现了(哪怕是坏掉的)数学了!数学至少有了存在感!

但是这文章又必须要写,因为编剧在写这个段子的时候违反了基本的数学精神。其一,数学靠证明说话,哪怕pi距离“包含所有可能序列”离得再近,哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到,在得到证明之前你也不能这么说;其二,数学是一个严密的逻辑体系,就算pi真的包含了所有可能性,你也不能说“因为它是无理数所以它是合取数”,这个推论本身的逻辑是错的。哪怕结果蒙对了,也不能为此放过错误的过程,否则整个数学体系就无法存在。

目前看来,pi“应该”是正规和合取的。如果让我打赌,我当然押“包含所有序列”一边;如果我在现实生活中用到了pi,我也会把它当做合取数和正规数那样用。甚至可以说,我“相信”pi是正规的:如果有人告诉我它不正规,我第一反应肯定是不接受;如果计算发现pi从第一万亿位开始变成了9090090009……,我没准都会开始怀疑宇宙的真实性——但是,只要没有出现证明,我就不能言之凿凿对你说:“pi里面包含了所有可能的数字组合”,更不能用似是而非的推论来支持这个说法。经验、审美甚至信仰,在数学里,都敌不过薄薄的一纸证明。

其实死理性派也有情怀,只不过往往用在了奇怪的地方。(编辑:球藻怪)

P.S. 下面是一些和pi相关的网页:
有个工具能在pi的前2亿位里搜索任何一个数。范围里搜到任一八位数生日的概率是86%。
WolframAlpha整理了一些关于pi的有(wu)趣(liao)小知识。 
这个网页上列举了pi的前100万位。
基于pi“很可能有”的合取性,有人半开玩笑地设计了一套文件系统“πfs”,你的所有的数据都(很可能)存在pi的某一个地方,只要找到那个地方就好了。

十几年前,在奥数鸡血还没有蔓延到幼儿年龄段的时候,判断一个孩子聪明与否的标准相对比较简单粗暴,无非就是唐诗能背几首,圆周率能背到多少位。当时,我身边有不少牛娃能把圆周率轻松背到几百位上千位,让围观群众深深感到被拍到沙滩上的无力感,因为在我小时候,背诵这些常数也就是十来位二十位,而且靠的还是读音标注法。

作为无理数,π似乎又不是那么无理。虽然π无法转换为任何一个分数,但却可以用无穷级数表示出来。请看π的莱布尼茨公式:

参考文献

  1. David H. Bailey and Jonathan Borwein. Pi Day Is Upon Us Again and We
    Still Do Not Know if Pi Is Normal.  American Mathematical Monthly,
    Mar 2014

 

母亲是数学老师,当年教我背诵自然对数的底常数e(也叫欧拉常数):“暗点吃,一扒二扒,一扒二扒,四壶酒”,2.718281828459…“暗点”是湖南话,意思是“晚一点”。作为吃货,我成功地记住了e这个常数的前12位小数——虽然在后来读大学和工作中并没有这么精确地用到过e,但过去了这么多年,记忆犹深。

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更著名的,当然要数圆周率了。

数学是科学最基本的语言,而π又有着微妙的数学意义。因此,π不仅活跃于数学中,还经常跑到宇宙学、热力学、力学和电磁学等科学领域客串。

关于圆周率的前几位数字,最有名的标注是“山顶一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐尔乐”,3.1415926535897932384626…感谢汉字相对较少的发音,同一读音或者类似读音上有多个意义不同的汉字可选,从而可以将这段毫无规律的数字转换为一段有意思、有节奏的文字。“山顶一寺一壶酒”,按小蛮的说法,这一句的意境简直可以算得上“覆窠”了,当然后面的“杀不死,乐尔乐”啥的连“打油”都算不上。

更神奇的是,π还可能是一个正规数。何为正规数呢?在数学上,正规数指的是数字随机分布,且0到9各数字出现机会均等的实数。也就是说,π可能包含了所有数字组合。这意味着,宇宙中的所有信息,过去的、现在的以及将来还为发生的一切都可能包含在π之中。

对圆周率的中文“诠释”还存在着不同的版本,根据不同的断句、不同的汉字选择,可以营造出不同的语境,比如“山顶一寺一壶酒而乐,舞三舞,把酒吃”,从文字上来说就比前面那段要略好一些,虽然短了不少。

在《疑犯追踪》中,哈罗德·芬奇是这么说的:

不过,再长,终究也不能穷极圆周率,人家好歹也是个无理数嘛。

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在《疑犯追踪》S02E11里,哈罗德·芬奇说了这样一段话:

“π,圆周长与其直径之比,这是开始。后面一直有,无穷无尽。永不重复。就是说在这串数字中,包含每种可能的组合。你的生日,储物柜密码,你的社保号码,都在其中某处。如果把这些数字转换为字母,就能得到所有的单词,无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节,你心上人的名字,你一辈子从始至终的故事,我们做过或说过的每件事,宇宙中所有无限的可能,都在这个简单的圆中。用这些信息做什么,它有什么用,取决于你们。”

“π,圆周长与其直径之比,这是开始。后面一直有,无穷无尽。永不重复。就是说在这串数字中,包含每种可能的组合。你的生日,储物柜密码,你的社保号码,都在其中某处。如果把这些数字转换为字母,就能得到所有的单词,无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节,你心上人的名字,你一辈子从始至终的故事,我们做过或说过的每件事,宇宙中所有无限的可能,都在这个简单的圆中。用这些信息做什么,它有什么用,取决于你们。”【4】

值得一提的是,迄今为止人类对π是正规数既无法证实,也无法证伪。

这段台词写得很好,在理科话题上蕴现出了文科生文字散发出来的光辉;不过事实上,圆周率是不是合取数尚无定论,所以对圆周率能否包含这个宇宙中所有产生的信息目前还存在疑问。

可以毫不夸张地说,如果我们的宇宙是一份被精心设计的作品,那么π就是其中最重要的参数之一。于是,爱因斯坦和霍金,两位专注于研究宇宙奥秘的大师自然就避免不了与π打上交道。

因为从定义上来看,并不是任意一个无理数都是合取数,无理数只是个无限不循环小数,并不能保证所有长度的不同数字组合都能在其中出现,举个简单例子:0.10100100010000100000…这是个无限不循环小数,因此它是一个无理数,但它只由数字0和1组成,所以它并不是个合取数。

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反过来,任意一个合取数必定是一个无理数。所有的有理数要么是一个有限的整数或小数,要么可以转化成一个无限循环小数,对于无限循环小数而言,它的循环单位的长度也是有限的,而此有限长的循环单位显然无法包含无限多的数字组合,因此有理数必定不是合取数,或者说合取数必定是无理数。

在爱因斯坦引力场方程中,π出现了:

到目前为止,人类借助计算机的强大能力已经计算到了圆周率小数点后的百亿位。但对于任何一个8个数字组成的数字串而言,其在圆周率前2亿位中出现的概率仅有85%左右,圆周率这一“糟糕表现”离它是个合取数的预期还相差较远。不过,这并不妨碍圆周率仍然被数学粉丝们热捧,在这个网站上(http://www.subidiom.com/),人们可以查询任意数字串在圆周率前20亿位小数中出现的位置。

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一般来说,由5-7个数字组成的任意数字串还是很容易在圆周率小数中找到的,比如今天的日期20170314就在圆周率小数点后的第37074720位出现。这个对应关系就使得另一种玩法成为可能——比如,我们把圆周率当作一个密码本!

在霍金辐射相关的一个的方程中,π也来凑热闹了:

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谍战片里的密码本,一直很神秘!【5】

可谁能想到,π最终竟然还与爱因斯坦和霍金的生死关联在一起——神奇的3.14——圆周率日、爱因斯坦生日和霍金逝世周年日。

这个密码本很简单,我们在明码本上记下20170314,通过圆周率的位置换算,就能得到37074720这个暗码。当然,你不要轻易告知他人你用的是圆周率,否则这个密码本就失效了。

当然,这一切只是美丽的巧合,却也注定成为一段永恒的科学佳话。

类似可选的密码本很多,普通青年可以用圆周率,吃货青年可以用“暗点吃”的欧拉常数,文艺青年可以用更带美学范儿的黄金分割率常数φ(0.6180339887498…),朴实无华的青年则可以直接用个根号2或者根号3——前提是你能够找到类似上述网站或者程序,能够将数字串转换为位置,以及反过来能够从位置转换为数字串。

再回到背诵圆周率的话题,和中文的同音多字相比,西方语言中单词音节的变化过多,同音单词相对少见,所以读音标注法在这里就不怎么好用了。不过西方人也有西方人的“密码本”,他们写上一段有意义的文字,按顺序文字中每个单词中包含字母的数目正好与圆周率相应位置的数字相同,如下图。

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国外圆周率的助记方法。【6】

“山顶一寺一壶酒”vs“一个大箱我想有”——小学生都看得出,中外这两种助记方法在意境上可差老远啦!

参考出处:

1.http://sincn.blog.163.com/blog/static/228108420109113112568/

2.http://viralnova.3835.com/wp-content/uploads/2016/11/2016-11-03\_05-48-37.jpg

3.http://edu.163.com/12/0816/18/8924PGLD00294IIK.html

4.http://www.guokr.com/article/439682/

5.http://www.bqpu.net/news/1150929

6.http://www.wikihow.com/Memorize-Pi

文/Athlon_美高梅mgm02233.com,BE
2017.3.14 初稿
2018.4.5 二稿

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